Photométrie – Philippe Lenepveu

Définitions et formules.

Intensité et flux

Intensité lumineuse : grandeur photométrique qui exprime l’éclat d’une source ponctuelle de lumière dans une certaine direction. L’unité d’intensité lumineuse est la candela (cd). Une candela correspond approximativement à l’intensité d’une bougie (ou chandelle) dans une direction horizontale.

Flux lumineux : grandeur photométrique qui caractérise la puissance lumineuse d’une source. L’unité de mesure du flux lumineux est le lumen (lm).

Par définition : une source lumineuse d’intensité (I) égale à 1 candela (cd) génère dans l’angle solide unité (1 stéradian) un flux lumineux (Φ) égal à 1 lumen (lm).

1 lm = 1 cd⋅sr

Le stéradian (sr) est l’unité de mesure des angles solides. C’est l’angle solide d’un cône qui, ayant son sommet au centre d’une sphère, découpe à la surface de celle-ci une aire égale au carré de son rayon (par exemple un mètre carré pour une sphère d’un mètre de rayon). L’angle solide comprenant toutes les directions de l’espace (c’est-à-dire défini par l’aire totale d’une sphère) est égal à 4 × π stéradians (soit environ 12,57 sr).

Pour une source lumineuse isotrope, on a la relation suivante :

Φ = I × Ω

Φ: Flux, en radians (rd).
I: Intensité, en candelas (cd).
Ω: Angle solide, en stéradians (sr).

Une source lumineuse isotrope d’intensité (I) égale à 1 candela (cd) génère un flux lumineux total (dans toutes les directions de l’espace) égal à 4 × π lumens (soit environ 12,57 lm).

Une source lumineuse isotrope est une source de lumière dont l’intensité lumineuse est la même dans toutes les directions.

Exemples

Une candela correspond approximativement à l’intensité (ou à l’éclat) d’une bougie (ou chandelle) dans le plan horizontal. Cette bougie, d’intensité 1 cd, génère un flux d’un lumen dans l’angle solide unité – et de 12,57 lumens environ en tout si on considère qu’elle est une source lumineuse isotrope.

L’efficacité lumineuse maximum d’une source lumineuse est égale à 683 lumens par watt (lm/W). À titre indicatif, l’efficacité lumineuse du soleil est environ égale à 98 lm/W (3,75×10²⁸ lumens pour une puissance de 3,828 × 10²⁶ watts).

L’intensité d’une lampe à incandescence, à filament de tungstène, est approximativement égale à une candela par watt de puissance électrique consommée, soit par exemple 60 cd pour une lampe de 60 W. Cette lampe, d’intensité 60 cd, génère un flux de 60 lumens dans l’angle solide unité – soit 754 lumens environ (60 × 4 × π) en tout si on considère qu’elle est une source lumineuse isotrope.

Relation entre intensité et flux

Intensité en fonction du flux et de l’angle solide :

I = Φ ∕ Ω

Flux en fonction de l’intensité et de l’angle solide :

Φ = I × Ω

Ceci pour des sources lumineuses isotropes.

Calculs d’angles

Angle au sommet d’un cône de révolution en fonction de l’angle solide :

θ = acos(1-Ω/2/π) × 2

θ: Angle au sommet, en radians (rd).
Ω: Angle solide, en stéradians (sr).

Angle en degrés = angle en radians / π × 180.

Exemple : l’angle au sommet d’un cône de révolution correspondant à l’angle solide unité est égal à 65,5° environ.

Angle solide d’un cône de révolution en fonction de l’angle au sommet :

Ω = 2π(1-cos(θ/2))

Ω: Angle solide, en stéradians (sr).
θ: Angle au sommet, en radians (rd).

Angle en radians = angle en degrés × π / 180.

Exemples :

Angle au sommet (en degrés)	Angle solide
15°	0,05 sr
30°	0,21 sr
45°	0,48 sr
60°	0,84 sr
75°	1,30 sr
90°	1,84 sr

Éclairement

Une surface située à une distance (R) égale à un mètre d’une source lumineuse d’intensité égale à 1 candela reçoit un éclairement (E) égal à 1 lux (lx).

L’éclairement est proportionnel à l’intensité de la source lumineuse et inversement proportionnel au carré de la distance qui la sépare de celle-ci. La formule permettant de calculer l’éclairement d’une surface est donnée par la relation suivante :

E = I / R²

L’éclairement d’une surface varie aussi selon son inclinaison par rapport à la source lumineuse. La relation devient :

E = I / R² × cos α

E
I
R: Distance de la source lumineuse au point de mesure, en mètres (m).
α: Angle d’incidence (0° dans le cas d’un éclairage perpendiculaire à la surface, 90° dans le cas d’un éclairage rasant).

Quelques valeurs de référence :

0,25 lux : éclairement par une nuit de pleine lune (par ciel clair, sans nuages) ;
64 000 lux : éclairement moyen de jour par beau temps (soleil brillant, ombres nettes) ;
120 000 lux : éclairement maximum donné par le soleil.

Calcul de l’éclairement en fonction du flux lumineux et de la surface :

E = Φ / S

Un lux est égal à un lumen par mètre carré.

1 lx = 1 lm⋅m⁻² = 1 cd⋅sr⋅m⁻²

E
Φ
S: Surface éclairée

Luminance

La luminance (L) d’une surface exprime l’intensité de la lumière réfléchie par celle-ci ; la luminance d’une surface dépend de son éclairement (E) et de sa réflectance (r) définie par le rapport lumière réfléchie / lumière incidente.

L’unité légale de mesure de la luminance est la candela par mètre carré (cd/m²) ; la formule permettant de calculer la luminance d’une surface est donnée par la relation suivante :

L = E × r ÷ π

L : luminance, exprimée en candela par mètre carré (cd/m²)
E : éclairement, exprimé en lux (lx)
r : réflectance, exprimée en %

En photographie, la réflectance d’une surface gris neutre est égale à 18%.

Lumination

La lumination – ou exposition – est égale au produit de l’éclairement (en lux) par la durée du temps d’exposition (en secondes). La lumination s’exprime en lux-seconde (lx⋅s). Elle est notée :

H = E × t

où :

H est la lumination ;
E est l’éclairement ;
t est le temps de pose.

Indice de lumination

En photographie, l’indice de lumination (IL ou EV pour exposure value) est un nombre qui renvoie à un ensemble de couples {ouverture / temps de pose} qui produiront la même exposition.

L’indice de lumination est défini par l’équation suivante :

IL = log₂ (N² / t)

Dans cette équation :

IL est l’indice de lumination ;
N est le nombre qui représente l’ouverture relative de l’objectif, par exemple : 2,8 pour f/2,8 ;
t est le temps de pose, par exemple : 1/125 pour 1/125^e de seconde ;
log₂ est la fonction logarithme de base 2.

Connaissant l’indice de lumination, on peut en déduire l’ouverture en fonction du temps de pose :

N = √ (t × 2^IL)

Ou bien, connaissant l’indice de lumination, on peut en déduire le temps de pose en fonction de l’ouverture :

t = N²  ∕  2^IL

Table des indices de lumination

Connaissant l’indice de lumination (IL), le tableau suivant permet de déterminer le temps de pose en fonction de l’ouverture :

IL	f/2	f/2.8	f/4	f/5.6	f/8	f/11	f/16
0
1
2	1
3	2	1
4	4	2	1
5	8	4	2	1
6	15	8	4	2	1
7	30	15	8	4	2	1
8	60	30	15	8	4	2	1
9	125	60	30	15	8	4	2
10	250	125	60	30	15	8	4
11	500	250	125	60	30	15	8
12	1000	500	250	125	60	30	15
13		1000	500	250	125	60	30
14			1000	500	250	125	60
15				1000	500	250	125
16					1000	500	250
17						1000	500
18							1000
19
20

Exemple : pour un indice de lumination (IL) égal à 12, les réglages suivants donneront la même exposition :

Temps de pose	Ouverture
1/1000^e de seconde	f/2
1/500^e de seconde	f/2.8
1/250^e de seconde	f/4
1/125^e de seconde	f/5.6
1/60^e de seconde	f/8
1/30^e de seconde	f/11
1/15^e de seconde	f/16

Constantes de calibration d’un posemètre

Deux constantes :

constante C pour la mesure de l’éclairement (mesure de la lumière incidente) ;
constante K pour la mesure de luminance (mesure de la lumière réfléchie).

Constante C (lumière incidente)

Pour une mesure en lumière incidente, avec un éclairement lumineux exprimé en lux, la norme ISO 2720:1974 recommande pour C une valeur comprise entre 250 et 400 pour un diffuseur plat et une valeur comprise entre 320 et 540 pour un diffuseur hémisphérique.

Valeurs des constantes d’étalonnage C pour un posemètre Sekonic L‑308 :

Diffuseur	Valeur de C
Plat (Lumidisc)	250
Hémisphérique (Lumisphere)	340

Constante K (lumière réfléchie)

Pour une mesure en lumière réfléchie, avec une luminance exprimée en cd/m², la norme ISO 2720:1974 recommande pour K une valeur comprise entre 10,6 et 13,4.

Valeur de la constante d’étalonnage K pour différents posemètres ou appareils photo :

Posemètres	Valeur de K
Sekonic, Canon, Nikon	12,5
Kenko, Minolta, Pentax	14

La différence entre ces deux valeurs représente un écart d’environ 1⁄6 d’IL.

Relations entre les constantes

Relation entre l’éclairement (E), la luminance (L) et les constantes de calibration :

L / E = K / C

Donc :

L = E × K / C

Pour K = 12,5 et C = 250, on a :

L = E × 12,5 / 250 = E × 0,05

Relation entre les constantes et la réflectance :

R = π × K / C

Pour K = 12,5 et C = 250, on a :

R = π × 12,5 / 250 ≈ 15,7%

Utilisation du posemètre

Dans les formules qui suivent :

N est le nombre qui représente l’ouverture relative (par exemple : 2,8 pour f/2,8) ;
t est le temps de pose en secondes (par exemple : 1/125 pour 1/125e de seconde) ;
S est la sensibilité ISO du film ou du capteur (par exemple : 100 pour 100 ISO) ;
log₂ est la fonction logarithme de base 2.

Mesure de la lumière incidente

Les paramètres d’exposition sont liés par la relation suivante :

N² / t = E × S / C

où :

E est l’éclairement exprimé en lux (lx) ;
C est la constante d’étalonnage du posemètre pour la mesure de la lumière incidente.

On en déduit les relations suivantes :

N = √ (t × E × S / C)

et :

t = N² / E / S × C

La formule suivante permet d’obtenir l’indice de lumination en fonction de l’éclairement :

IL = log₂ (E × S / C)

Mesure de la lumière réfléchie

Les paramètres d’exposition sont liés par la relation suivante :

N² / t = L × S / K

où :

L est la luminance exprimée en candelas par mètre carré (cd/m² ou cd⋅m⁻²) ;
K est la constante d’étalonnage du posemètre pour la mesure de la lumière réfléchie.

On en déduit les relations suivantes :

N = √ (t × L × S / K)

et :

t = N² / L / S × K

La formule suivante permet d’obtenir l’indice de lumination en fonction de la luminance (exprimée en cd/m2) :

IL = log₂ (L × S / K)

Mesure de la lumière réfléchie au moyen d’une une carte « gris neutre »

La réflectance (ou facteur de réflexion) est définie comme le rapport entre le flux lumineux réfléchi et le flux lumineux incident (flux réfléchi / flux incident).

Pour la mesure on utilise une carte « gris neutre », par exemple une carte Kodak “Gray Card” ou “Neutral Test Card” dont la réflectance est 18%.

Dans les formules qui suivent :

E est l’éclairement (exprimé en lux) ;
S est la sensibilité du film (par exemple 100 pour 100 ISO) ;
r est la réflectance (exprimée en %) ;
K est la constante d’étalonnage du posemètre pour la mesure de la lumière réfléchie ;
π est le nombre pi (≈ 3,1416) ;
N est le nombre qui représente l’ouverture relative (par exemple : 2,8 pour f/2,8) ;
t est le temps de pose (par exemple : 1/125 pour 1/125e de seconde) ;
IL est l’indice de lumination.

La formule suivante permet d’obtenir l’indice de lumination en fonction de l’éclairement et de la sensibilité du film :

IL = log₂ (E × S × r / K / π)

La formule suivante permet d’obtenir l’ouverture en fonction de l’éclairement, de la sensibilité du film et du temps de pose :

N = √ (E × S × r / K / π × t)

La formule suivante permet d’obtenir le temps de pose en fonction de l’éclairement, de la sensibilité du film et de l’ouverture :

t = N² / E / S / r × K × π

Luminance en fonction de l’éclairement

Le tableau ci-dessous donne une indication de la luminance (L) d’une surface « gris neutre » en fonction de l’éclairement (E), ainsi que l’indice de lumination (IL) correspondant pour différentes valeurs de sensibilité ISO.

Le tableau est établi en fonction des constantes de calibration suivantes :

constante C = 250 pour la mesure de la lumière incidente au moyen d’un luxmètre (diffuseur plat) ;
constante K = 12,5 pour la mesure de la lumière réfléchie au moyen posemètre.

Relation entre la luminance (L) et l’éclairement (E) :

L = E × K / C = E × 12,5 / 250 = E × 0,05

Ceci pour une surface dont le coefficient de réflexion (réflectance) est approximativement égal à 15,7% (r = π × K / C).

Éclairement (lux)	Luminance (cd/m²)	IL pour 100 ISO
2,5	0,125	0
5	0,25	1
10	0,5	2
20	1	3
40	2	4
80	4	5
160	8	6
320	16	7
640	32	8
1 280	64	9
2 560	128	10
5 120	256	11
10 240	512	12
20 480	1 024	13
40 960	2 048	14
81 920	4 096	15
163 840	8 192	16
327 680	16 384	17
655 360	32 768	18